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[硕士论文] 王磊
应用数学 安徽理工大学 2018(学位年度)
摘要:本文主要讨论广义的稳定秩1环的K2群,全文共分五章。
  第一章简述了代数K-理论的发展史,我们的工作背景和文章的结构。
  第二章叙述了环的K0,K1,K2群的基本相关概念,重点给出了稳定秩1环的K2群的表示。
  第三章我们考察了Steinberg群St3(R)的性质,重点研究了St3(R)群的子群M3(R),并给出了其代表元和基本的性质。
  第四章从KR群出发,研究了广义的Keune符号的若干性质,以第三章中的K(R)群,H3(R)群,M3(R)群为模板,构造了(M)3(R)群,并给出了其所有的代表元和基本的性质。
  第五章是关于文章的总结和展望,对下一步需要关注和研究的问题进行了说明。
[硕士论文] 陈伟
应用数学 安徽理工大学 2018(学位年度)
摘要:借助于泛函分析和复分析的技巧,本文刻画了Dlog的乘子空间和Qlog空间的插值序列几何特征.此外,利用K-Carleson测度的性质,本文也刻画了Bloch函数到Qlog空间的距离.
  第一章阐述了函数空间理论的历史发展和Qlog与Dlog空间的研究背景,简要叙述了本文的主要研究内容.
  第二章通过运用泛函分析的技巧,刻画了Dlog空间的Pick性质以及Dlog的乘子空间插值序列的几何特征.
  第三章研究Qlog空间的插值问题,通过运用复分析和调和分析的技巧,刻画了Qlog∩H∞的插值序列几何特征,该结论推广了QK空间的部分结论.
  第四章利用K-Carleson测度的性质,刻画了Bloch函数到Olog空间的距离,该结论推广了Jones和赵如汉的结果.
[硕士论文] 俞勇
应用数学 安徽理工大学 2018(学位年度)
摘要:本文研究非正则半群的特殊性质,主要是从子半群格的角度来描述非正则半群的性质,特别是GV-逆半群的子半群格以及全子半群格。
  全文共分四章:
  第一章是引言部分,主要阐述论文研究背景和国内外现状以及文章研究思路。
  第二章主要研究GV-逆半群中子半群格是下半分配格的性质,引入幂零半群和拟周期半群的性质,来描述子半群格是下半分配格的GV-逆半群的性质,同时对某些性质进行推论,得到新的结论,最后给出一个GV-逆半群的子半群格是下半分配格的充分必要条件。
  第三章主要研究GV-逆半群中子半群格是0-模格的性质,引入单拟周期半群和带的性质,来描述子半群格是0-模格的GV-逆半群的性质,给出在满足条件时,Es是带,利用这个最后给出一个GV-逆半群的子半群格是0-模格的充分必要条件。
  第四章主要研究GV-逆半群中全子半群格的性质,特别是当全子半群格是分配格时,GV-逆半群所具有的独特性质,引入单拟周期半群的性质和半群同态来刻画全子半群格是分配格的性质,最后给出GV-逆半群的全子半群格是分配格的充分必要条件。
[硕士论文] 李雯惠
基础数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:李超代数是在李代数基础上发展起来的一个代数学分支.关于李超代数某些问题的研究方法常借鉴于李代数的研究方法.本文就是借鉴W-代数W(2,2)的双导子的研究方法,对超W-代数W(2,2)的超双导子进行了研究.
  本文针对超W-代数W(2,2)的超双导子进行了研究.利用线性代数中双线性函数的一些结论和李超代数的定义以及超W-代数的超导子计算超W-代数W(2,2)的超双导子,从而得到超W-代数W(2,2)的超双导子是非内的.最后,应用超双导子刻画了超W-代数W(2,2)的线性超交换映射的形式.
[硕士论文] 陈丹
基础数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:李代数的一个分支为李超代数,在数学领域起着重要的作用.李超代数已经引起许多学者的广泛关注.本文主要研究Block型的李超代数SB(q)的超导子代数及其超双导子代数.其中主要研究结果如下:
  第一,本文借鉴Block型李代数导子的研究方法,分别研究SB(q)超导子的偶部与奇部.给出SB(q)超导子代数的结构.首先,介绍了研究背景、研究现状和Block型代数的发展趋势;然后,给出李超代数超导子的结构.
  第二,探讨李超代数SB(q)超导子的应用.借助给出的李超代数超导子的结构阐明其超双导子的结构.
[硕士论文] 李晓彤
基础数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:在本文中,在没有反对称条件下求出Twisted Heisenberg-Virasoro代数的双导子.我们得到一些非内的且非反对称的双导子.在应用中,刻画了Twisted Heisenberg-Virasoro代数上的线性交换映射以及交换的Post-Lie代数结构,并证明了阶化Ttwisted Heisenberg-Virasoro左对称代数上的每一个双导子都是平凡的.
  第一章主要介绍了本文的研究背景,国内外研究现状,发展趋势以及本文研究的目的和意义,并且给出了导子和双导子的定义.
  第二章给出了一些预备知识,主要是与本文相关的基本概念,以及结论中用到的引理.
  第三章研究了Twisted Heisenberg-Virasoro代数的双导子,并给出Twisted Heisenberg-Virasoro代数的双导子是非内的.
  第四章作为应用,给出了Twisted Heisenberg-Virasoro代数的post-Lie代数及左对称代数结构等应用.
[硕士论文] 丁肇博
基础数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:李代数的结构和表示理论是李代数研究的热门问题.Virasoro代数在数学与物理中的许多领域都有着非常重要的作用,而Virasoro型李代数是与Virasoro代数密切相关的一类李代数.伽利略共形代数(GCA)和Wg(0,1)代数都是Virasoro型李代数.本文主要对伽利略共形代数的双导子以及Wg(0,1)的双导子进行了研究.
[硕士论文] 杨宇
数学 黑龙江大学 2018(学位年度)
摘要:双导子是代数结构理论的一个重要课题,Bre(s)ar曾经证明所有交换素环上的双导子都是内双导子。这个理论在研究交换映射中是有用的。2011年的一篇文章中介绍了李代数的双导子的概念。从那以后,越来越多的学者开始研究李代数的双导子。因此,研究一些李代数的双导子是有意义的。本文中,我们将研究Schr(o)dinger代数和Witt代数的双导子。我们先介绍它们的定义,再证明它们的双导子都是内双导子。最后,我们会给出双导子的一些应用,例如交换线性映射和post-李代数。
[博士论文] 崔巍巍
基础数学 山东大学 2017(学位年度)
摘要:上世纪二十年代,Rolf Nevanlinna推广了早期Picard,Borel等人在整函数方面的工作进而建立了亚纯函数的值分布理论,从而引起了数学界广泛深入的研究和推广。Nevanlinna所发展的亚纯函数值分布理论的影响是极其深远的。因此现如今,值分布理论又被称之为Nevanlinna理论,其核心就是如今的Nevanlinna第一基本定理和第二基本定理。其后Ahlfors又给出了该理论的几何解释,从而更加坚实了该理论的理论基础。
  Nevanlinna理论是简洁而又深刻的,因为除了其本身的重要性外,该理论也被广泛地应用于其它数学方向的研究中。其中一个尤为重要的方面就是应用Nevanlinna理论研究复域上微分方程的解的存在性和其它性质。该理论现在已经非常成熟,同时又在不断的更新中。近年来,有一些学者将Nevanlinna理论应用到复域上差分算子和差分方程的研究中,比如,给出了差分形式的对数导数引理,研究了差分算子的零点与不动点的存在性,以及复域上差分方程解的一些性质。同时,Nevanlinna理论在复解析动力系统以及半群上的动力系统中也有广泛的应用,在此不做叙述。
  论文的第一章中,主要给出Nevanlinna理论的一些基本知识,包括一些基本的定义以及论文中将会用到的一些符号。
  假设f为定义在整个复平面上的亚纯函数。Bergweiler与Langley首次于2007年研究了差分算子△f:=f(z+c)-f(z)以及差商△f/f的零点的存在性问题。他们的结果后来被一些学者进行了深化与推广。在本论文的第二章中,将继续这一方面的研究,主要给出了在亚纯函数的增长级为1时差分算子与差商的零点与不动点存在性的条件。同时,也给出了一些简单具体的例子来说明条件的精确性。
  在第三章中,不再局限于常规的差分算子与差商。考虑了差分平移以及差商的线性组合的零点与不动点问题。该问题是第二章中提到的结论的推广,同时也与差分方程有密切关系。主要给出了在该线性组合的系数满足何种条件时,该线性组合有无穷多个零点和无穷多个不动点。该问题研究的关键在于,在满足这些条件时线性组合是超越的。
  第四章是上面第三章的深化。主要考虑在何种更弱的条件下仍然可以得到第三章的结论。不过,该章节中,将使用不同于上一章中使用的Hadamard分解定理,这一章主要分析方程解的零点的分布情形,从而来导出矛盾。因为该方法更多的是依赖于方程解的本身的性质,所以所限制的条件比上一章更弱。
  在论文的最后一章,将讨论一些关于差分算子的问题,以及后续的研究。在前面几章中主要讨论的时在何种条件下差分算子有零点和不动点。此时,提出的主要问题是在何种情形下差分算子没有或者只有有限个零点或不动点。
[博士论文] 李蔚郁
金融数学与金融工程 山东大学 2017(学位年度)
摘要:近几十年来,在识别响应变量和预测变量的回归结构问题中,半参回归模型受到了越来越多统计学者的关注。半参模型是非参模型和参数模型的结合,它既保持了非参模型的灵活性,同时又具有参数模型良好的可解释性,特别的它还有效的避免了纯非参回归的维数灾难问题。
  单指标模型作为一种常见的半参模型,已经广泛的应用到了生物统计、医学药物、经济学、金融学等学科中。令Y是一个随机变量,X∈x是一个d维随机向量,β是未知指标参数,常见的单指标模型有:
  1.单指标回归模型:Y关于X的条件期望与Y关于X(Τ)β的条件期望相等,即E[Y|X]=E[Y|X(Τ)β]=g(X(Τ)β),其中函数g(·)是未知的。相关文献有Hall et al.(1993),Hristache et al.(2001)、Delecroix et al.(2006)、Xia et al.(2002)、Cui et al.(2011)等。
  2.单指标条件分布模型:Y关于X的条件分布与Y关于X(Τ)β的条件分布相等,即F(Y|X)=F(Y|X(Τ)β)=g(X(Τ)β),其中函数g(·)是未知的。相关文献有Delecroix et al.(2003)、Hall&Yao(2005)、Ma&Zhu(2013)等。
  3.单指标分位数模型:假设Qα(Y|X)表示Y关于X的条件α分位数,其中0≤α≤1,那么单指标分位数模型定义为Qα(Y|X)=g(X(Τ)β),其中函数g(·)是未知的。相关文献有Chaudhuri et al.(1997)、Kong&Xia(2012)、Wu et al.(2010)、Ma&He(2016)等。
  在单指标模型中,因为涉及到未知函数g,参数β并不是唯一的。因此为了模型的可识别性,需要对参数β进行限制。常用的方法有两个:第一个是假设‖β‖=1和它的第一个元素β1>0,见Lin&Kulasekera(2007);第二种是假设参数β的第一个元素为固定值,如β1=1。在本文中,将采用第二种可识别条件。
  本篇论文中,针对单指标模型的估计问题进行研究。讨论了三种不同单指标模型,分别是一种广义的单指标模型假设(包括单指标回归模型和单指标条件分布模型)、删失数据的单指标模型和包含条件方差信息的单指标模型。给出了它们的估计方法、渐近性质,以及相关的置信区间的构造、单指标假设的检验等内容。
  在第一章中,将提出关于单指标模型的一个新的估计方法。单指标是一种非常自然的降维方法,这一方法对参数模型的精确性和非参模型的灵活性进行了折衷。假设Tu,u∈u是Y的转换函数族。在单指标假设下,存在唯一的β0,使得对于任意的u∈u,E[Tu(Y)|X]=E[Tu(Y)|X(Τ)β0],(0.0.1)其中向量β0是需要估计的指标向量,它属于参数集合B(C)[(β1,…βd):β1=1}(C)Rd。
  我们的方法基于以下的思路。对于每一个β∈B,假设X(Τ)β有密度函数fβ(·)。令gu(Y,X,β)={Tu(Y)-E[Tu(Y)|X(Τ)β]}fβ(X(Τ)β),u∈u,β∈B.那么条件(0.0.1)可转化为,对于任意的u∈u,E[gu(Y,X,β)|X]=0α.s.(→)β=β0.因此,定义函数Q(β)=∫u E[gu(Y1,X(Τ)1β;β)(Τ)gu(Y2,X2(Τ)β;β)ω(X1-X2)]dμ(u),β∈B,其中ω(·)是空间x上的实值可积函数并且具有可积的严格正的傅立叶转换,μ是某个概率测度,它的支撑集有波雷尔σ-域。β0是Q(β)=0的唯一根。那么构造Q(β)的基于样本的近似值(Q)(β),然后关于参数β最小化(Q)(β),就可以得到β0的估计(β)。
  在我们的模型中函数gu是未知的,在构造(Q)(β)时,使用的是gu的不含分母的核估计,这种估计可以避免使用修正函数并且不用限制协变量的取值范围。据所知,目前在单指标模型的估计方法中,我们的方法是唯一不需要这两种限制的。
  我们的估计值是一致的,并且是√n-渐近正态的。由于渐近方差的结构非常复杂,提出了一种类似于Lavergne&Patilea(2013)中给出的重抽样方法来构造置信区间,也见于Jin et al.(2001)。在该方法中,构造了准则(Q)(β)的一个随机扰动版本并计算其最小值点。这个最小值点的分布接近于(β)的分布。通过多次重复这一过程,可以得到(β)分布的一个近似。
  还利用几个模拟实验和真实数据来评估我们的估计方法。结果表明我们的方法要优于现有的方法。
  在第二章中,研究了删失数据的估计问题。提出了一种降维方法,利用单指标假设,在SMD类型方法的帮助下估计指标参数β。
  假设T是在(-∞,∞]中取值的随机变量。这类模型常常假设T是非负的,但是我们的方法并不需要这一限制条件。令Y是实值随机变量,δ是一个标识变量,X是在某个空间x中取值的协变量。标识变量用来标识Y的取值是寿命时间T,还是小于T的某个随机量。也就是说,δ=1如果Y=Tδ=0如果Y<T.我们的目标是估计T关于X的分布。事件{T=∞}的条件概率允许为正。
  观察值可以用条件子概率来描述,令H1((-∞,t]|x)=P(Y≤t,δ=1|X=x)H0((-∞,t]|x)=P(Y≤t,δ=0|X=x),t∈R,x∈x.那么Y的分布为H((-∞,t]|x)=P(Y≤t|X=x)=H0((-∞,t]|x)+H1((-∞,t]|x).为了估计T的条件分布,通常用如下方法来构造模型:存在一个随机变量C作为右删失时间,Y=T∧C,δ=1{T≤C}.在适当的可识别假设下,例如T和C是关于X条件独立的,T关于X的条件分布可以表示为关于H0(·|x)和H1(·|x)的解析表达式,那么就可以通过代入H0(·|x)和H1(·|x)的非参估计来得到相应的估计。这种估计通常被称为条件Kaplan-Meier估计。见Beran(1981)、Dabrowska(1989)、van Keilegom&Veraverbeke(1996)。但是这些方法在x是一个维度高于1的空间时都将遇到维数灾难问题。在本文中,将提出一种单指标降维方法,这一方法可以看作是第一章中的估计方法在删失数据模型中的推广。方法的原创性在于仅对观察值(Y,δ)做了限制。更精确的说,在x=Rd上,要求对于某个未知向量β0∈B(C)Rd,有(Y,δ)⊥X|X(Τ)β0.为了估计β0,将第一章中的估计方法推广到了存在删失的情况下。并且证明了估计结果的一致收敛性和渐近正态性。用第一章中给出的重抽样方法来构造置信区间。最后给出了事件{T=∞}的条件概率的估计,它是Xu&Peng(2014)中的结果的推广。
  值得一提的是,不同于现有的检验删失数据的单指标假设的方法,如Bouaziz&Lopez(2010),Xia et al.(2010)和Strzalkowska-Kominiak&Cao(2013),利用Maistre&Patilea(2014)中的方法,给出了一种简便的检验方法。
  在第§2.6节,利用了模拟实验和真实数据来验证新方法的性能。
  在第三章中,考虑了具有额外方差限制的单指标模型。在实际应用中,由第一和第二阶条件矩定义的模型是一种非常常见的统计模型。最近的参考文献有Ziegler(2011)。在这里,考虑的是Cui et al.(2011)中的模型结构的扩展形式。考虑变量(Y,X(Τ))(Τ)其中Y是计数变量、X是d维解释变量,假定存在唯一的β0∈Rd,使得单指标模型条件E(Y|X)=E(Y|X(Τ)β0)=r(X(Τ)β0;β0)成立,并且对于某一实值α0,有Var(Y|X)=g(E(Y|X),α0)=g(r(X(Τ)β0;β0),α0),其中函数r(·)是未知的,函数g(·,·)是已知的,并且对于每一个r,映射α→g(r,α)是一一映射。
  提出了关于这类具有条件方差信息的单指标回归模型的一个新的估计方法。该方法将Gouriéroux et al.(1984a,1984b)提出的拟似然伪最大似然方法扩展到半参结构中。更精确的说,使用基于具有讨厌参数的线性指数族密度的两步伪最大似然(PML)方法去估计参数β0和函数r(·)。所使用的密度可由均值r和包含在方差中的讨厌参数进行参数化。尽管使用了似然类型的准则,但是推导渐近结果时并不要求Y拥有关于X的条件分布。
  因为回归函数r(·)未知,在构造伪似然准则时需要使用它的非参估计,因此面临光滑参数如何选取的问题。现有的半参指标回归文献虽然包含了大量的关于如何估计指标的内容,但是对于如何选取光滑参数却很少提及。尽管光滑参数并不影响β0的半参估计的渐近方差,可是实际上β0和回归函数的估计对于光滑参数的取值非常敏感。
  我们的另外一个贡献是给出了一个自动选择光滑参数的方法。为此,扩展了H(a)rdle et al.(1993)中提出的方法(也见Xia&Li(1999),Xia et al.(1999)和Delecroix et al.(2006))。这个方法是同时对于β和光滑参数(核估计的窗宽)最大化伪似然。窗宽取值于n-1/4到n-1/8之间。在某种意义上,该方法将窗宽认为是一个辅助工具,伪似然可以提供它的一个估计值。通过对伪对数似然进行合适的分解,可以发现这个联合最大化问题渐近等价于分别关于参数θ最大化非线性函数和关于窗宽最小化加权交叉验证平方均值函数。
  此外,还给出了估计值的渐近性质的证明以及关于该方法的模拟实验和真实数据验证。
[博士论文] 朱昊
基础数学 山东大学 2017(学位年度)
摘要:本文首先研究正则离散施图姆-刘维尔问题的特征值对该问题中各系数的依赖性.一个正则离散施图姆-刘维尔问题是由一个正则离散施图姆-刘维尔方程和一个边界条件组成.知道当方程系数和边界条件系数发生变化时,特征值也随之发生变化.因此,特征值如何随方程系数和边界条件系数的变化而变化就是本文要研究的问题.比如,特征值是否随着方程系数和边界条件系数的变化而连续变化;特征值是否随着方程系数或边界条件系数中某些参数的变化而单调地变化等等.
  本文接下来研究正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的第n个特征值对方程系数和边界条件系数的依赖关系.一般情况下,第n个特征值对方程系数和边界条件系数不是连续依赖的.如何找到所有这样的不连续的方程系数和边界条件系数,在不连续点处第n个特征值呈现怎样地渐近行为也是所要研究的问题.发现正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的第n个特征值对该问题中各系数的依赖性的研究和正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的相应研究无论是从结果上还是从方法上都有很大的不同.另外,随着计算机技术的发展,数值计算的研究得到广泛的关注.我们的研究对离散施图姆-刘维尔问题的一些数值计算提供了理论基础。
  本文还研究一端点带有奇性的自伴连续施图姆-刘维尔问题的孤立特征值对该问题的边界条件中系数的依赖性.由于问题带有奇性,这增加了研究的困难.特别是在奇异端点是极限点型情形,用于正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的孤立特征值对边界条件依赖性的方法失效.Weyl-Titchmarsh m(λ)-函数理论和一端点带有奇性的连续施图姆-刘维尔问题的谱之间的关系是研究该问题的重要工具.解的先验界估计在该问题的研究中也很重要.该问题的研究在物理中有着重要的应用,比如一些流体线性稳定性与不稳定性的研究,浅水波模型中Cammasa-Holm方程的可积性问题.
  正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的特征值的扰动理论已被广泛地研究.关于正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的特征值对该问题中各系数的依赖性,已经有比较丰富的结果.特别地,孔庆凯、吴宏友和Zettl证明了特征值对方程系数和边界条件的连续依赖性,构建了连续特征值分支,给出了连续特征值分支的微分公式[35,37].他们进一步证明了第n个特征值对方程系数是连续依赖的,对边界条件一般情况下不是连续依赖的,同时他们也找到了第n个特征值作为边界条件组成空间上的函数的所有不连续点,以及在不连续点处附近的渐近行为,从而完全刻画了第n个特征值对边界条件的不连续性[33].对于在时间尺度上的正则施图姆-刘维尔问题的研究,孔庆凯证明了第n个特征值连续依赖于除某些特殊点外的分离型边界条件[32].对于奇异自伴连续施图姆-刘维尔问题的研究,张茂柱、孙炯和Zettl证明了在本质谱下确界下方的第n个特征值对边界条件中所有参数是连续依赖的,并给出了它们的微分公式[57].
  本文的具体安排如下:
  本文分为五章.第一章是预备知识.首先,介绍正则离散施图姆-刘维尔方程和边界条件组成空间,进而介绍正则离散施图姆-刘维尔问题组成空间和正则自伴离散施图姆-刘维尔问题组成空间.接下来介绍正则离散施图姆-刘维尔问题的特征值的一些基本性质.然后介绍一端点奇异的自伴连续施图姆-刘维尔问题的边界条件组成空间.最后介绍一端点奇异的自伴连续施图姆-刘维尔问题的特征值的一些基本性质.
  第二章研究正则离散施图姆-刘维尔问题的特征值对该问题中各系数的依赖性.首先,给出了特征值解析重数和几何重数之间的关系.特别地,当该问题是自伴问题时,直接证明了特征值的解析重数和几何重数相等.然后证明了充分接近于一个给定问题的所有问题都有这样的特征值,使得它充分接近于这个给定问题的任何一个给定的特征值.接下来,证明了正则离散施图姆-刘维尔问题的每个单特征值都落在一个所谓的连续单特征值分支上,正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的每个特征值都落在一个连续特征值分支上.最后研究了连续特征值分支的解析性、可微性和单调性.
  第三章研究正则自伴离散施图姆-刘维尔问题的第n个特征值对该问题的连续依赖性.把第n个特征值视为正则自伴离散施图姆-刘维尔问题组成空间上的一个函数,称为第n个特征值函数.证明了第n个特征值函数在问题组成空间的一个连通子集上连续的充要条件是在这个子集中每个问题有相同个数的特征值.也研究了第n个特征值函数在问题组成空间的一个子集上的一些性质,其中包括由第n个特征值函数在某参数方向的单调性可以推出它于不连续点处在该方向上的渐近行为等性质.这对研究第n个特征值对问题的连续依赖性起到很重要的作用.然后给出了第n个特征值作为方程组成空间、边界条件组成空间和问题组成空间上的函数的连续点集和不连续点集,以及它在不连续点处附近的渐近行为.
  第四章研究一端点有奇性的自伴连续施图姆-刘维尔问题的孤立特征值对边界条件的连续和可微依赖性.首先证明了特征值对边界条件的局部连续依赖性.如果奇异端点是极限圆型情形,利用类似于正则自伴连续施图姆-刘维尔问题的相应办法[35,37]来证明奇异问题的特征值的局部连续依赖性.如果奇异端点是极限点型情形,此时谱问题会包含本质谱,这会带来一些困难.这使得上述方法不能应用于此.为此,利用在一个孤立特征值的小邻域内的Weyl-Titchmarsh m(λ)-函数和该奇异问题谱之间的关系得到了孤立特征值对边界条件的局部连续依赖性.然后在边界条件组成空间上建立了通过每个孤立特征值的连续特征值分支.严格证明了在一个连续单特征值分支上的特征值对应的特征向量可以被连续的选取,并且有L2w范数的一致界.这个一致界使得在计算连续特征值分支的微分时,反常积分号和极限号能交换顺序.最后给出连续单特征值分支对边界条件中所有参数的微分公式.从而,也得到了连续特征值分支关于某些参数的单调性.
  第五章对本文进行总结,并对未来工作进行展望.
[硕士论文] 高焕江
职业技术教育学 河北师范大学 2017(学位年度)
摘要:在高等教育大众化形势下,高职院校的学生其前期数学知识基础参差不齐,而数学属于“强度框架”课程,加之数学作为高职院校的一门公共课,与专业课没有切近的或直接的联系,高职院校数学教师也存在不能适应当下形势的问题,多方面的原因致使高职数学课堂教学效率低下。
  信息技术的普及在为学校教育提供丰富教学资源的同时,也给教育、教学带来了机遇和挑战。这必将促进教育思想、教学方法乃至教学模式发生变革。传统的数学教学模式对于目前的高职数学教学产生种种不适应,学生学不会、用不了,教师教得累、效果差。但这并不意味着我们就无路可走。Mathematica是一款高度优化的专业软件,其语法规则和表示非常接近数学运算的思维和表达方式。教学实践发现,高职学生虽然前期数学基础薄弱,但对在计算机上操作软件具有一定心理优势,基于“高职学生学数学是为了用数学,而不是为了研究数学”这样的认识,我们认为将数学软件包融入高职数学教学是可行的,其出发点是为高职数学教师找一个“助手”,为高职学生数学学习增加一个“帮手”。
  本选题定位于高职院校数学课程教学模式研究,首先阐释高职数学课程、教学模式、Mathematica软件等几个基本概念,然后介绍高职院校数学教学现状,阐述对高职数学课程教学要素——教师、学生、教材建设、课堂教学环境的一些理解和思考,在深入研究建构主义教学理论、自我效能理论以及情感教学理论,借鉴国内外成熟的学科教学模式的基础上,构建以Mathematica软件为辅助教学工具的高职数学教学模式,最后介绍一个教学案例并进行评价反思。
  具体地说,本文内容分为如下五部分:
  第一章,介绍选题的目的和意义、研究方法和思路以及国内外数学教学模式研究现状,并明确本选题的几个核心概念。
  第二章,主要阐述高职学校数学课程的性质、地位、作用和教学现状。
  第三章,主要论述对高职学校数学教师、高职学生学情、高职数学教材和高职课堂教学环境等教学要素的认识和思考。
  第四章,通过对建构主义教学理论、自我效能理论以及情感教学理论的学习,分析将数学软件融入高职数学教学的实现条件,构造出以Mathematica软件为辅助教学工具的高职数学教学模式的基本框架,并提出相应的教学策略。
  第五章,介绍“随机变量的数字特征”课堂教学案例,并对此进行案例分析和反思。
[博士论文] 万颖
数学;应用数学 东南大学 2017(学位年度)
摘要:神经网络,多智能体系统,复杂网络信息物理系统等多种时滞网络系统的动力学分析和一致性控制是近年来的热点问题,其在通信安全,神经科学,飞行器编队,大规模传感器网络,交通网络等众多领域有着广泛应用,引起了不同领域学者的密切关注。研究这些时滞网络中的动力学和同步现象,将有利于人们更深刻地理解网络环境下的协同机理,也有助于设计更有效的控制协议以实现多样的控制目标。本文主要基于Lyapunov稳定性理论,矩阵测度方法,采样控制理论,网络安全控制思想等,对多种时滞网络系统的动力学,同步以及分布式一致性控制等问题进行了探讨。全文由以下七个部分组成:
  第一章首先介绍了时滞动态网络系统的背景和研究意义,具体阐述了时滞神经网络的研究进展和待解决的热点问题。此外,介绍了多智能体系统协同控制以及采样控制的研究意义和研究进展,并在此基础上详细阐述了本文的主要研究内容和创新点。
  第二章主要研究了两类时滞神经网络的动力学和同步控制问题。第一节讨论了带有时变时滞的惯性神经网络的稳定性和同步控制。利用矩阵测度和Halanay不等式,得到保证惯性神经网络平衡点全局指数稳定的充分性判据。所得的判据以矩阵测度形式给出,判据含义直观且易于验证。通过设计线性反馈控制,得到了可以保证主从惯性神经网络同步的控制器增益需满足的充分性条件。第二节讨论了带有参数不确定性和时变时滞的主从Cohen-Grossberg神经网络的固定时间同步问题。这里的固定时间同步概念中,停息时间与初值无关,故而可以事先人为设定和调整。基于Filippov解的概念和非光滑分析,提出了新的固定时间同步控制策略,得到了保证固定时间同步的控制器参数选取方法。
  第三章讨论了几类动态网络的采样控制问题。第一节中,研究了有向通讯拓扑和随机采样下,双层多智能体系统的均方点到点一致性跟踪问题。通过输入延迟方法和构造不连续Lyapunov泛函,得到了保证每个跟随者的状态在均方意义下渐近跟踪到相应领导者状态的充分性条件。在第二节,考虑了有向图下,多智能体系统基于观测器的镇定问题,并设计了基于采样信息的分布式镇定控制协议。为了镇定整个网络中智能体的状态,所有智能体均可以利用采样时刻邻居间的相对输出信息,假定只有一小部分节点可以利用自身的绝对输出信息。基于输入到状态稳定的性质,给出了控制器增益、观测器增益、耦合强度的设计方法,以及可容许采样间隔上界需满足的条件。此外,还讨论了相应线性矩阵不等式判据的可解性。在第三节,研究了带有分布式传感器、量化过程和网络通讯时滞的主从混沌神经网络的同步问题。在每个采样时刻,根据指定的调度策略,仅选取其中一个传感器将其最新更新的状态传送至控制器端。从而,基于调度协议的通讯和控制策略将更为节能。为了保证主从混沌系统在调度协议下的量化同步,得到了关于输出反馈增益矩阵,可容许的采样间隔上界,以及网络时延上界的充分条件。
  第四章研究了间歇控制策略下,带有线性动力学的多智能体系统的分布式鲁棒镇定问题。在有向通讯拓扑下,假设每个智能体的动力学中带有未知不确定性。假设根节点的控制输入可以额外且间歇地利用自身的绝对状态信息,而其他所有节点可以连续地利用邻居间的相对状态信息。为了镇定整个网络的状态,给出了选取控制参数的算法,并利用有向图理论和Lyapunov稳定性理论给出了间歇控制的时间比率。
  第五章在信息物理系统的框架下,讨论了带有Lipschitz非线性的动态网络系统的分布式跟踪问题。由于实际中的诸多限制,智能体的状态往往不可直接获取来设计控制输入,故而首先设计了观测器以重构智能体的状态信息。假设控制器和观测器的通讯网络均可能遭受网络攻击,这些攻击将破坏相应通讯拓扑的连通性且攻击对不同的通讯网络的影响相互独立。给出了新的网络安全控制协议,并提供了选取反馈增益矩阵和耦合强度的算法。
  第六章考虑了多区域时变时滞下城市路网的自适应周界控制问题。首先,基于宏观基本图概念,提出了区域中车辆数所满足的非线性常微分方程模型。该模型包含车辆驶往区域边界的行驶时间以及交通拥塞的疏散过程,其分别建模为输入和状态时滞。控制目标为调节每个区域的车辆数至期望值。基于模型参考自适应控制和渐近滑模控制方法,仅利用参考模型的信息,设计了相应的自适应控制策略,并证明了跟踪误差的收敛性。
  第七章对本论文进行了全面的总结,并对今后的研究方向进行了展望。
[博士论文] 周楠
数学;应用数学 东南大学 2017(学位年度)
摘要:本篇博士论文主要围绕弱乘子Hopf代数上的作用理论展开一系列深入研究,主要表现在以下几个方面:
  首先,我们给出弱乘子Hopf代数上模代数的定义,并且给出一系列的例子.然后给出了相应的smash积的构造,统一了乘子Hopf代数和弱Hopf代数相应的概念.进一步的,我们研究了双边smash积.最终我们得到了作用和smash积上的对偶作用之间的对偶定理.
  然后,通过继续深入研究smash积,我们构造了新的弱乘子Hopf代数(代数量子群胚)的例子.具体来说就是在smash积代数上构造余乘,余单位,典范幂等元使之成为弱乘子双代数.最后构造对极从而弱乘子Hopf代数.并且也研究了上面的对应的积分的存在性.同时我们也给出了不动点代数的定义.
  最后,引入了弱乘子Hopf代数上的对偶对的定义并得到了一些结论,覆盖了乘子Hopf和弱Hopf代数上相应的结果.并且我们发现这个推广是不平凡的,得到了一些特有的性质.有了对偶对的概念后,我们最后构造了弱乘子Hopf代数上量子偶,得到了更多的弱乘子Hopf代数的例子.
[硕士论文] 郭斐
计算机科学与技术;计算机应用技术 东南大学 2017(学位年度)
摘要:最大流是指在网络中从源点至汇点可以传输的最大流量,不确定图的最大流问题是传统最大流问题在不确定图上的自然延伸,主要研究当边的容量存在不确定性时,和图中流量传递能力、传递方案及其可靠性相关的各种问题。鉴于不确定性是系统的固有特性,加之其对于构建可靠性网络、选取最优传输路径以及评估网络关键边等有着深远影响,因而这类问题在研究和应用领域得到了广泛的关注。本文重点研究的最大流可靠性和最大流可靠分布是其中具有代表性的两个问题,考虑到d流的应用更具普遍性,最大流仅是它的特例,故对两种情况予以合并研究。
  本文首先对最大流/d流可靠性问题进行了研究,最大流/d流可靠性问题是指,网络在源点与汇点之间能够传递最大流量/d流时的概率,反映了网络的流量传递能力,是评估网络性能重要指标。该问题属于NP-hard问题,随着网络规模增大,精确算法的时间开销难以接受,无法适用于大型网络,因而各种近似算法被相继提出,以蒙特卡洛算法最具代表性,然而该近似算法需要计算所有随机样本状态的最大流,导致计算代价相对较高。为此,本文提出基于双重过滤的d流可靠性算法,利用过滤准则避免对部分无效样本状态的最大流计算,提高算法的效率。随之又提出基于最大流快速计算的d流可靠性算法,针对随机样本状态图之间的结构包容性,利用对大量最大流计算中反复用到的路径的缓存和索引,加快了增广路径的查找过程,进一步降低了计算随机状态最大流的时间开销。针对边失效概率较为接近或相等的特定网络系统,又提出基于K重失效模型的d流可靠性算法,利用基于失效边的分层抽样方式代替直接随机抽样,在同样的精确度要求下该算法能够减少采样次数,进一步提升近似算法的性能。
  其次,对最可靠最大流/d流分布问题进行了研究。不确定图中源点与汇点之间传递最大流量/d流时通常会对应多个流分布,从这些流分布中选择可靠性最高的流分布作为流传输方案是最可靠最大流/d流分布问题研究的主要内容。为了避免现有算法ISDA-d对不存在更可靠d流分布的区间无意义的划分,提出基于区间过滤的空间划分算法SDBA SF,提升空间划分算法的效率。考虑到在实际网络可能因故障导致拓扑结构发生变化,此时需要快速找到一个替代的流分布,静态环境下的算法因其复杂度过高而不再适用,为此,提出一种动态环境下可靠d流分布的快速求解方案,其主要思想是,预先计算原网络的Top-K最可靠d流分布及缓存所有的简单路径。若网络中的边发生损毁后原分布不可用,但损毁网络仍然可承载d流,则从已有的K-1个分布中快速获取一个仍然有效的d流分布;若不存在仍然有效的d流分布,则利用本文提出的简单路径替换算法对当前分布进行失效路径的替换,快速获取一个较为可靠的d流分布;若损毁网络不满足d流或依靠路径替换算法无法得到有效的d流分布,则利用基于路径替换的最可靠最大流/d流分布近似算法PRAA重新计算一个可靠性较高的最大流/d流分布。
  最后,本文通过一系列实验验证了本文所提出d流可靠性算法的精确性及其时间性能优势,并通过与现有的ISDA-d算法及SPCAA算法对比验证本文提出的SDBA SF算法及PRAA算法的性能优势。
[硕士论文] 谈小莉
基础数学 兰州交通大学 2017(学位年度)
摘要:众所周知,种群生态学作为数学在生态学中应用最为广泛和成熟的分支之一.许多种群模型的研究都可归结为对反应扩散方程的研究,在研究种群的扩散现象时,大多数种群受到时变环境的影响,动力学行为发生很大的变化,比如就季节而言:不同季节,由于温度高低和食物供给问题,种群的出生率,死亡率和扩散率随之改变.因此,研究时变环境对种群模型的影响具有重要的理论和实际意义.
  本文考虑了在时变环境的影响下,具有两种年龄结构和分布成熟时滞的非局部扩散单种群模型行波解的存在性,通过傅立叶变换得到具有两种年龄结构和分布成熟时滞的非局部扩散单种群模型,研究了该模型的初值问题并建立了比较原理,构造合适的上下解并应用上下解方法,证明了行波解的存在性.
  在空间离散的斑块环境中,格动力系统被用来描述种群的增长和入侵过程,并且种群的生活环境一般都在二维空间上,因此考虑在二维空间上,受时变环境的影响,具有两种年龄结构和分布成熟时滞单种群模型的行波解.首先通过二维离散傅立叶变换得到具有两种年龄结构和分布成熟时滞的单种群模型,然后通过构造适当的上下解并建立比较原理,证明了行波解的存在性和唯一性.
[硕士论文] 王宾
基础数学 兰州理工大学 2017(学位年度)
摘要:本文研究了逆半群的正规子半群格的相关性质,刻画了任意逆半群S的正规子半群格和S的最大群同态像S/σ的正规子群格Subng(S/σ)之间的关系.其次证明了Brandt半群S的正规子半群格SubnS是分配格,当且仅当S或者是带零的局部循环群,或者是Brandt半群B5.同时也给出了Brandt半群S的正规子半群格SubnS是0-分配格的充分必要条件.
  
[硕士论文] 许艳雪
基础数学 兰州理工大学 2017(学位年度)
摘要:Riordan矩阵是组合数学中的主要研究对象之一,它是一类特殊的无穷下三角形矩阵,将该类型矩阵向左展开成等腰三角形矩阵,我们将这种矩阵称为ISO型三角形矩阵.ISO型三角形矩阵的中间列即为Riordan矩阵的中心系数,以它的中间列为初始列,取该矩阵的右半部分就是Riordan矩阵的中心系数矩阵.本文在此基础上,通过多次重复上述过程定义了Riordan矩阵的(m,r)-中心系数及(m,r)-中心系数矩阵.作为应用,在最后我们给出两类特殊的Riordan矩阵,即Pascal矩阵和Catalan矩阵,并得到一些恒等式.
  第一章,主要介绍了本课题的研究背景,并给出了Riordan矩阵和Catalan矩阵的相关知识.
  第二章,首先给出Riordan矩阵的中心系数和r-中心系数的概念以及已有的研究成果,然后给出(m,r)-中心系数的概念以及它的生成函数.
  第三章,先介绍半-Riordan矩阵以及Riordan矩阵的r-中心系数矩阵,然后定义了Riordan矩阵的(m,r)-中心系数矩阵,并且得到许多非常有意义的结果.文章的最后研究了Pascal矩阵和Catalan矩阵的(m,r)-中心系数矩阵,并得到一些恒等式.
[硕士论文] 李彦君
应用数学 兰州理工大学 2017(学位年度)
摘要:Hankel矩阵在计算数学,组合数学中有重要的应用.设(rn)n≥0是一个实数序列,(rn)n≥0的Hankel变换记作(hn)n≥0,其中hn=det(ri+j)ni,j=0是(rn)n≥0的n+1阶Hankel行列式.Riordan矩阵是一类无限下三角整数矩阵,这类矩阵在组合数学中有广泛应用.本文用两类Riordan矩阵给出了一类特殊序列(加权Motzkin序列)的Hankel变换.
  文章总共有三章内容,第一章简要的介绍了Riordan矩阵和Hankel变换的概念及国内外研究现状.
  第二章有三部分内容,首先详细的介绍了Riordan矩阵,指数型Riordan矩阵和生成矩阵的相关知识,在此基础上给两类Riordan矩阵用格路给出了组合解释.
  第三章我们得到了一个加法公式,依此公式来计算加权Motzkin序列的Hankel行列式,并将结论推广,最后在附表中列出了许多序列的Hankel行列式的值.
[硕士论文] 何健
基础数学 兰州理工大学 2017(学位年度)
摘要:本文第一部分引入了伪半投射I-盖的概念.证明了每一个左R-模有伪半投射I-盖当且仅当每一个左R-模有投射I-盖,也证明了伪半投射模构成的类是投射类,进而利用伪半投射I-盖刻画了I-半正则环和I-半完备环,并推广了一些已有的结论.第二部分引入了强dualπ-Rickart模的概念,并研究了它的基本性质.讨论了强dualπ-Rickart模与强dual Rickart模,dualπ-Rickart模之间的关系,并用强dualπ-Rickart模刻画了强π-正则环.
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