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[硕士论文] 许媛
科学技术哲学 山西大学 2017(学位年度)
摘要:数学物理学关系一直以来就是科学哲学中的重要话题之一。目前物理学哲学界关于这一论题的讨论主要集中于经典力学、量子力学、广义相对论以及20世纪后半叶的场论、量子引力等领域的数学和物理学的关系,统计力学形成时期的研究则被大多数人所忽略。但事实上,统计力学形成时期的数学物理学关系有其自身不容忽视的特点,在整个数学物理学关系的发展史上具有重要历史地位,所以,本论文以牛顿力学为参考背景,以玻尔兹曼统计力学为主要研究对象,对统计力学形成时期的数学物理学关系进行了深入研究。论文包括导言、三章主体内容和结语。
  第一章,统计力学形成时期之前的数学物理学关系分析。本章从历史和理论两个角度厘清了统计力学形成时期之前数学和物理学的关系。首先从历史上考察统计力学形成时期之前的数学物理学发展概况;其次,分析统计力学形成时期之前具有代表性的牛顿力学体系中的数学和物理学的关系;最后,分析统计力学形成时期之前数学物理学关系整体的特点。论文表明此时期的数学和物理学受到自然哲学和思辨哲学的影响,既相互影响又共同成长。
  第二章,统计力学形成时期数学和物理学的发展状况。本章界定了统计力学形成时期的时间,考察统计力学形成时期数学与物理学的理论背景,从数学与物理学相互作用的角度上介绍统计力学形成时期的理论,为具体分析统计力学理论中的数学物理学关系做铺垫。
  第三章,统计力学形成时期的数学物理学关系及其特点。本章对统计力学形成时期的数学物理学关系进行具体探讨,指出这一时期的数学物理学关系与牛顿力学时期的数学物理学关系相比,有着自己明显的特点,主要受到哲学发展和数学物理学在19世纪各自分离的特色所影响。论文研究表明,在此时期的数学与物理学之间的相互影响依然重要,并分析了此时期的数学物理学关系具有的特点:第一,数学物理学思想的历史地位及其承上启下的作用;第二,数学物理学关系的平行而又统一的新特点;第三,以数学构造为基础的物理学研究方式的意义。
  结语指出,统计力学形成时期与其之前时期的数学与物理学生长环境的不同引起的两个时期数学与物理学的关系各自具有自己的特点。对于统计力学形成时期的数学物理学关系应被予以重视,论文从理论发展的历史和具体的特征两个角度来表明此时期数学物理学的关系及其特点。同时表明这一时期的物理学理论构造性的研究方式具有重要的意义和哲学研究的价值。
[硕士论文] 孔楠
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:时间尺度为实数域上一非空闭子集,其理论可以统一离散和连续两种情况。故,可将时间尺度理论应用于动力学系统的研究中,即利用时间尺度理论将动力学中的离散系统和连续系统统一起来。在此基础上,以时间尺度理论为基石,可将经典力学的对称性理论推广至任意时间尺度上的力学系统之中。
  本文借助时间尺度理论把连续和离散两种力学体系的Mei对称性理论统一起来,详尽地给出了时间尺度上保守力学系统的Lagrange体系、完整力学系统中Nielsen体系的Mei对称性及其相应守恒量的求法。此研究方法很好地统一了经典动力学中离散系统与连续系统的Mei对称性及其相应守恒量的基本理论。
  首先研究了时间尺度上保守力学系统Lagrange方程Mei对称性的结构方程及由其直接导出的三个Mei守恒量。在无限小群变换下,定义时间尺度上Lagrange方程的Mei对称性,并推出其判据,由此得出其在时间尺度上的Mei对称性结构方程,以及由其直接导出的三个Mei守恒量。
  其次探讨了时间尺度上完整力学系统Nielsen方程的两种证明方法,一种是基于时间尺度上约当原理,结合时间尺度上动能函数给出时间尺度上完整力学系统Nielsen方程的证明;另一种是利用时间尺度上非保守系统的哈密顿正则方程和哈密顿原理给予证明。
  最后推导了时间尺度上完整力学系统Nielsen方程的Mei对称性及其直接导致的Mei守恒量。在无限小群变换下,定义时间尺度上Nielsen方程的Mei对称性,并推出其相应判据,由此得到其在时间尺度上Mei对称性的结构方程,以及由其直接导出的Mei守恒量。
[硕士论文] 韦寒梅
应用数学 广西大学 2017(学位年度)
摘要:近年来,许多学者对奇异积分方程的研究取得了丰硕的成果,而奇异积分方程也在解决弹性理论和断裂力学等数学物理问题中发挥重要的作用.本文采用新的数值方法研究两类力学问题导出的奇异积分方程的近似解,并分析数值方法的收敛性和误差估计,通过数值实例且与其他方法比较,验证方法的可行性与有效性.主要内容有:
  (1)研究流体力学问题导出的一类弱奇异积分方程.首先对含有变系数的分数阶微分Bagley-Torvik方程进行积分处理转化为含有弱奇异核的第二类Volterra积分方程,然后利用Banach空间的压缩算子原理研究方程解的存在性和唯一性,给出对应的充分条件.接着对含有弱奇异核的第二类Volterra积分方程构造数值解,同时给出相应的收敛性分析和误差估计.最后计算含有变系数的分数阶微分Bagley-Torvik方程的近似解并且与其他方法进行比较,验证本文的方法.特别的,对于精确解为多项式函数的积分方程,本文的方法可以获得精确解.而当待求解的积分方程的精确解未知时,通过与经典的差分法比较表明,本文的方法依然有效.
  (2)研究断裂力学中十字裂纹问题导出的奇异积分方程.该奇异积分方程与一般的积分方程相比主要的区别就是它存在奇异点,为此本文采用修正的数值方法构造方程的近似解,通过引进权重参量ω提高近似解的精确度,给出修正的数值方法的误差及收敛性分析,并通过数值实例验证本文的方法.
  以上的研究充分体现了奇异积分方程在实际问题中的应用,并为解决力学与工程学等各类相似的问题提供理论方法.
[硕士论文] 王书静
计算数学 郑州大学 2017(学位年度)
摘要:在有限元的数值求解过程中,对流扩散方程是流体力学邻域中一类重要的数学模型。大量的实际问题都表现出强烈的对流占优特征,对于对流占优问题,用传统的数值方法求解边界层出现数值振荡,学者们提出了一些稳定有限元法以达到消除数值震荡提高数值精度的目的,例如[5]针对无反应项的对流占优方程提到的有限体积法,流线迎风有限元法,间断有限元法等等。[2]中提出了一种解对流扩散反应方程的稳定化方法,主要针对对流占优的情况下且反应系数大的情形,[1]中作者设计了一个新的稳定化参数适应于反应项系数是零或者非常小的情况。在[1]中作者用线性元说明了此种稳定化的可行性。
  本文中,讨论在三角形单元上采用拉格朗日型二次插值多项式空间作为试探空间,因此用[1]中提出的稳定化方法要重新确定稳定化参数,其中的稳定化参数不仅依赖于扩散系数,对流系数,反应项系数和网格尺寸,还依赖于逆不等式中的常数C.进行误差分析给出误差范围,最后数值实验结果显示用稳定化方法后L2范数误差阶达到O(h3),H1范数误差阶达到O(h2),与理论结果一致。
[硕士论文] 纪思源
工程力学 山东建筑大学 2017(学位年度)
摘要:常见的规则平面弹性问题大部分已得到广泛研究,然而在实际工程当中平面弹性问题不仅仅是在规则域上有所应用,在不规则域上亦应用广泛,例如拱形域、环形域、多边形域以及任意复杂形状的平面域,论文主要研究的是复杂区域的平面弹性问题。平面弹性问题可以归结为二阶耦合椭圆型偏微分方程的边值问题,弹性力学问题的数值分析,就是寻求分析椭圆形偏微分方程边值问题的数值解。对于任意复杂形状的不规则平面弹性问题,通常情况下很难得到其解析解,论文主要研究求解不规则区域上以位移为未知量的平面弹性问题的数值方法,称之为正则区域重心Lagrange插值配点法。
  对于直角坐标系下的不规则区域平面弹性问题,将不规则区域嵌入到规则的矩形区域,在矩形区域上将平面弹性问题的控制方程采用重心Lagrange插值离散,得到控制方程矩阵形式的离散表达式;在极坐标系下是将不规则区域嵌入到规则的圆形、扇形或圆环形区域,在规则区域上将控制方程采用重心Lagrange插值进行离散,得到控制方程矩阵形式的离散表达式。在不规则边界上利用重心Lagrange插值离散边界条件。规则区域可采用置换法施加边界条件,不规则区域可采用附加法施加边界条件,得到求解平面弹性问题的过约束线性代数方程组,采用最小二乘法进行求解,得到整个规则区域上的位移数值解。进而利用重心插值计算得到不规则区域内任意节点的位移值。数值算例验证了所建立方法的有效性和计算精度。
  提供的9个数值算例表明:重心Lagrange插值配点法及正则区域法的运用,可以有效地求解不规则平面弹性问题的位移解。重心Lagrange插值配点法具有以下优点:程序实施简单、节点适应性好、不需划分网格、计算精度高等。
[硕士论文] 张磊
工程力学 山东建筑大学 2017(学位年度)
摘要:弹性力学问题可归结为二阶耦合椭圆形偏微分方程边值问题。工程中遇到的大部分问题都难以得到其解析解。为求解弹性力学方程,工程实际中广泛采用数值求解技术。本文提出数值分析平面弹性问题的位移-应力混合重心插值配点法。将弹性力学控制方程表达为位移和应力的耦合偏微分方程组,采用重心插值近似未知量,利用重心插值微分矩阵得到平面问题控制方程的矩阵形式离散表达式。使用重心插值离散位移和应力边界条件,采用附加法施加边界条件,得到求解平面弹性问题的过约束线性代数方程组,应用最小二乘法求解过约束方程组,得到平面弹性问题位移和应力数值解。
  对于不规则区域的弹性力学问题,采用重心Lagrange插值正则区域法,将不规则区域嵌入规则区域,在规则区域上采用重心Lagrange插值近似未知函数。利用配点法强迫微分方程在离散节点处精确成立,得到规则区域位移-应力混合方程组。在不规则区域的边界上取若干节点,由规则区域内的重心插值插值节点的未知函数,得到一个边界条件的约束代数方程。将位移-应力混合方程的离散方程和边界条件的约束方程组合成一个新的过约束代数方程组,应用最小二乘法求解过约束方程组,得到平面弹性问题位移和应力数值解。
  本文提供的5个规则区域的数值算例和4个不规则区域的数值算例结果表明:重心Lagrange插值配点法和重心插值正则区域法的运用,可以有效的解决规则区域和不规则区域的平面弹性问题。重心Lagrange插值配点法不仅计算公式简单、节点适应性好、程序通用性强、而且计算精度非常高。
[博士论文] 郭晓峰
计算力学 大连理工大学 2016(学位年度)
摘要:比例边界元法(SBM)是90年代提出和发展起来的一种半解析数值方法。该方法在求解无限域或者有奇异性的问题方面较有限元法更有效率,只需在边界上进行离散而与边界元法相比又不需要基本解。目前,比例边界元法已经有了很大的发展与应用,但是还没有比例边界元法关于粘弹性问题的研究报导,而在工程中经常要涉及到材料的粘弹性力学分析。比例边界元法在形成刚度矩阵时需要求解一个特征值问题,会导致计算量较大;涉及时域的粘弹性问题或反演计算等需要多次求解方程组,也将导致计算时间的不断累积。因此,较大的计算时间消耗是影响该方法进一步应用的一个重要原因。本文以周期旋转对称结构为背景,以二维弹性/粘弹性问题和稳态热传导问题为研究对象,利用这类结构的周期旋转对称性,提出相应的分块算法,将原问题解耦,降低了求解规模,从而提高了无网格伽辽金比例边界元法(EFG-SBM)求解的计算效率。
  本研究主要内容包括:⑴证明了周期旋转对称结构的EFG-SBM二维线弹性问题的特征值方程和系统方程的系数矩阵在引入坐标转换矩阵进行一次变换之后都是块循环的,进一步提出一种分块算法,将特征值方程和系统方程都解耦为一系列子问题独立求解,从而提高了计算效率。⑵证明了周期旋转对称结构的EFG-SBM二维稳态热传导问题的特征值方程和系统方程的系数矩阵都是块循环的,提出一种分块算法,将二维稳态热传导问题的EFG-SBM特征值方程和系统方程都解耦为一系列子问题独立求解,从而提高了计算效率。⑶提出一种基于EFG-SBM的时域分段自适应算法求解二维粘弹性问题。该算法将时空耦合的粘弹性问题转换成一系列递推的边值问题,在边值问题的求解中,可充分利用EFG-SBM半解析的优点,在时域可进行自适应计算以保证时域的计算精度,对蠕变和松弛分析都能够有效方便地实现。⑷对周期旋转对称二维粘弹性问题,提出一种递推的分块算法,将相应的特征值方程和系统方程都解耦为一系列子问题分块递推求解,提高了计算效率。
[硕士论文] 董凯骏
计算力学 大连理工大学 2016(学位年度)
摘要:随着现代工程技术的发展,新材料和新结构形式的大量应用,传统的线性有限元分析已经不能适应工程数值分析的需要,而计算机硬件性能的快速提升,为非线性有限元方法在实际工程问题中的大规模应用提供了必要条件。非线性有限元分析目前已经广泛应用于机械、土木、航空航天、岩土等众多工程领域,成为其中不可或缺的分析手段之一。
  非线性有限元分析软件分为专用和通用两大类。专用软件适用于某些具体行业和问题,通用软件则具有丰富的单元和本构类型,适用于多个工程领域。目前国外的通用软件已经非常成熟,比如ABAQUS,ANSYS等,但我国在通用软件方面与国外差距较大,目前只能使用国外软件或者进行相当有限的二次开发,这对于提升我国制造业的核心竞争力是十分不利的。
  本文基于开放式有限元系统SiPESC.FEMS实现了隐式非线性有限元的通用程序框架,程序框架设计基于SiPESC平台的插件+微核心设计模式和大规模工程数据库SiPESC.ENGDBS。本文给出了一系列单元列式、材料本构以及增量-迭代的算法理论与程序实现过程,并通过工厂模式以及多态机制实现了其动态添加和组合。本文所实现的算法目前广泛应用于大型商用有限元软件中,经过了大量工程算例的检验,具有很高的应用价值,也是非线性有限元分析软件的核心技术所在。基于本文实现的程序框架,开发完成了如下分析功能:
  (1)单元列式:几种三维连续体单元,具有几何大位移/大应变分析能力,其单元技术(如平均体应变技术、F-Bar技术)可以处理大应变下近似不可压缩的变形问题。
  (2)材料本构:几种工程上广泛采用的大应变超弹性(近似不可压缩Neo-Hookean模型)、弹塑性(Mises等向强化模型)和弹黏塑性(Pierce/Perzyna模型)材料。
  (3)增量-迭代算法:用于跟踪平衡路径的弧长控制算法,以及一系列提高收敛性的技术(自动增量步控制,自由度预测,线搜索)。
  本文通过一系列具有一定工程意义的数值算例(非线性后屈曲问题,大应变材料单轴试验模拟等)与目前广泛应用的国外大型商用软件ANSYS与ABAQUS的结果对比,验证了本文实现的分析功能的计算结果的正确性,以及所研发的隐式非线性有限元软件框架的分析能力。
[博士论文] 卞正宁
结构工程 湖南大学 2016(学位年度)
摘要:本文在总结以往学者在弹性力学及流体力学有限元方法的基础之上,提出了基于分区伽辽金方程的变分方法。针对常规有限元方法导致弹性力学应力精度下降的问题,提出了一阶有限元改进算法。针对不可压Navier-Stokes方程求解的困难,提出了不含压力项的一阶流体动力学方程系统。并对高雷诺数下高质量比圆柱涡致振动现象进行了数值模拟和分析。本文主要包括以下一些工作:
  (1)提出了分区伽辽金方程,放松了分区交界面上位移、应力连续的条件。分析了弱形式降低连续性的现象。建立了基于分区伽辽金方程(分区加权残数法)的求解体系,为构造各种单元,特别是拟协调元、杂交元提供了理论基础。对于弹性力学问题,在统一的构架下,基于分区伽辽金方程,导出了分区弱形式、分区广义虚功方程和分区变分原理。分析了积分形式解的组成模式。提出了选取权函数要满足的条件。基于分区伽辽金方程的变分方法为其后的一阶有限元方法提供了理论依据。
  (2)将一阶有限元方法应用到二维、三维弹性力学问题中。首先推导了弹性力学问题的一阶弱形式,然后使用FreeFem++软件完成有限元编程工作。并且采用典型算例来比较一阶算法和常规有限元算法的精度。通过数值算例,验证了一阶有限元方法使应力精度与位移精度同阶,应力的精度得到了提高。同时数值计算的结果还表明采用一阶算法,达到相同的应力精度,比常规有限元法花费的时间要少。一阶有限元算法为有限元应力精度的提升提供了一个新的思路。
  (3)介绍了不可压Navier-Stokes方程,介绍了特征线分裂算法,并编程将其用于二维圆柱绕流的计算模拟。并将一阶有限元解法应用到不可压粘性流体计算中。对于不可压粘性流动,提出了不含压力项的一阶流体动力学方程系统。基于有限元方法,对应力和速度采用同阶插值,对两平行平板间的稳态粘性流动及二维非定常圆柱绕流进行了数值计算,并分别和精确解以及标准测试算例进行对比。采用有限元方法对提出的不含压力项的一阶流体动力学方程系统进行求解,可以对应力和速度采用同阶插值,从而可以避免Navier-Stokes方程求解过程中反复使用速度导数而导致精度下降的问题。
  (4)研究了高雷诺数下高质量比圆柱的涡致振动问题。对所使用的流体SST湍流模型理论以及一些相关的参数做了详细的介绍。采用基于伽辽金最小二乘有限元法的CFD计算软件,通过使用质量-弹簧-阻尼系统以及SST湍流模型进行了流固耦合数值模拟。流固耦合分析结果与文献试验结果基本吻合,验证了采用的流固耦合计算方法的正确性。从而可以为该类问题的数值模拟提供参考。数值模拟的结果表明:在计算边界层由于强烈逆压梯度而引起的分离流动问题时,采用SST湍流模型是比较合适的;并且,在高雷诺数下,高质量比圆柱会出现高幅分支现象,从而为该类工程问题的研究提供参考。
[博士论文] 李昊辰
数学;计算数学 南京师范大学 2016(学位年度)
摘要:一切真实的,耗散可忽略不计的物理过程都可以用哈密顿系统进行描述.哈密顿系统有两个最重要的性质,一个是辛结构,另一个就是能量守恒.正确计算哈密顿系统非常重要.近年来,能够保持哈密顿系统辛结构或能量的保结构方法已经得到了很大的发展.本文讨论哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析,主要研究成果如下:
  Ⅰ.近几年,人们构造了等离子物理中洛伦兹力系统的保结构格式,比如保体积格式和保辛格式.然而这些格式都不能保持系统能量.把洛伦兹力系统写为一个非典则的哈密顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行求解,得到洛伦兹力系统的一个新的格式.该方法可以保持系统哈密顿能量达到机器精度.
  Ⅱ.研究如何利用二,三和四阶AVF方法求解哈密顿偏微分方程.对非线性薛定谔方程,空间用Fourier拟谱方法半离散,时间用三个AVF方法进行离散,得到该方程三个不同精度的AVF格式.我们用数值实验验证了这三个格式的精度和保能量守恒特性.
  Ⅲ.基于根树和B-级数理论,给出了5阶树的带入规则的具体公式.利用新得到的带入规则,把二阶AVF方法提高到高阶精度,给出了一个新的AVF方法.证明了新方法具有6阶精度,并且可以保持哈密顿系统能量.利用六阶AVF方法求解非线性哈密顿系统,并测试了其精度和能量守恒特性.
  Ⅳ.在哈密顿偏微分方程保结构算法框架下,研究了基于系统弱形式的空间离散方法.首先,空间用有限元法或谱元法对偏微分方程进行半离散,把得到的常微分方程组写成一个哈密顿系统.然后,用一个保结构方法对这个常微分哈密顿系统进行求解,得到一个全离散保结构格式.用这个方法对一维非线性薛定谔(NLS)方程进行求解,其中空间用Legendre谱元法,时间用AVF方法,得到一个新的保能量方法.同样对一维NLS方程,在空间用Galerkin有限元方法,时间用Crank-Nicolson格式离散,则得到一个同时保能量和质量的格式.对二维NLS方程,空间用Galerkin谱元法,时间用Crank-Nicolson格式离散,得到一个同时保能量和质量的格式.而对Klein-Gordon-Schr(o)dinger方程空间用Galerkin方法,时间用辛St(o)mer-Verlet方法离散,得到一个显式辛格式.对自旋为1的Bose-Einstein凝聚态(BEC)中耦合Gross-Pitaevskii(GP)方程,空间用Galerkin方法,时间用隐中点辛格式离散,则得到一个新的同时保系统辛结构,质量和磁场强度的格式.对自旋轨道耦合的BEC中耦合GP方程离散,空间用Galerkin方法,时间用Crank-Nicolson格式,得到的新格式可以同时保能量和质量.我们做了数值实验验证理论结果.
[硕士论文] 程胜华
工程力学 南昌大学 2016(学位年度)
摘要:Eshelby夹杂问题是连续介质力学和弹塑性力学中历久而弥新的研究课题,是复合材料细观力学的基本问题。经典的Eshelby夹杂问题只限于求解无限域内椭圆形夹杂的问题,然而在实际问题中夹杂形状大多都不是椭圆,真实的物理域大部分不能用无限域来近似。对于非椭圆异质问题,理论上的求解更是困难重重。本文基于ANSYS有限元平台,对非椭圆夹杂及异质问题作了详细的数值研究,主要内容如下:
  1、对于无限域Eshelby夹杂问题,采用有限元方法计算了若干多边形夹杂的扰动弹性场,并与导师得到的理论解析解进行了对比验证;
  2.、对于有限域Eshelby夹杂问题,采用有限元数值方法计算了圆域内正方形夹杂和偏心圆形夹杂的扰动弹性场,并与导师邹文楠教授得到的理论解析解进行了对比验证;
  3.对于非椭圆异质问题(即第二类Eshelby问题),基于ANSYS平台用有限元方法计算得到了多边形异质问题的数值解。同时模拟了同样构型的远场加载问题,用数值方法证实了两类问题的等价性。
  本文对非椭圆夹杂Eshelby问题进行了拓展研究,通过若干数值算例及与理论解析解的对比证实了有限元方法在处理 Eshelby夹杂问题中的有效性。对于第二类Eshelby问题,通过ANSYS有限元数值方法证实了它与同样构型的远场加载问题的等价性。
[硕士论文] 李根
工程力学 国防科学技术大学 2015(学位年度)
摘要:在现代战争中,具有战略意义的设施(如军事指挥所、核武器仓库等)通常深埋在地下几十米到几百米处,而钻地武器是打击这些目标的重要装备。因此,研究钻地武器的地下爆炸效应,对钻地武器毁伤效能评估及地下目标防护工作来说是非常重要的。限于理论和实验的复杂性和局限性,数值模拟是钻地武器地下爆炸效应的重要研究手段。
  本文在有限元法与物质点法的基础上,对二维有限元-物质点流固耦合算法开展研究并编制相关程序,通过一维弹性杆碰撞与二维冲击波传播问题两个算例对程序进行有效性验证,最后用于钻地武器的地下爆炸数值模拟。在模拟中,用物质点法模拟爆轰产物的流动,用有限元法模拟岩土介质的响应,充分发挥了有限元方法与物质点方法各自的优势。
  模拟结果表明:地下爆炸冲击波的峰值压力衰减规律与传播方向有关,随着传播距离的增加,各方向衰减规律趋于一致;不同深度下,岩石尽管初始压力状态存在差异,但由于其数值仅为爆轰压力的万分之一,不会显著影响冲击波形态。
  本文为钻地武器的地下爆炸问题提供一种新的数值模拟方法,能够很好地反映钻地武器在地下爆炸的现象,可以为钻地武器毁伤效能评估及地下深层设施的防护提供分析手段。
[博士论文] 伊士超
计算数学 苏州大学 2015(学位年度)
摘要:无网格法是近20多年来兴起的一种新型的数值方法,由于它避免了网格依赖性,且形函数具有高阶连续性,因而,无网格方法在解决层合板的弯曲问题中具有一定的优势。无单元伽辽金(Element-free Galerkin, EFG)方法的高精度、稳定性一直受研宄者们喜爱。在已提出的众多无网格方法中,E F G方法是被研宄最多、应用最广的方法。大多数E F G方法的形函数都是通过移动最小二乘近似(MLS)得来,然而MLS近似方法的一个主要缺点是构造出的形函数一般不满足Kroneckerdelta函数性质,因而在无单元伽辽金方法中本质边界条件不易施加。因此,无网格径向基点插值(RPIM)方法或者RPIM伽辽金方法无网格法逐渐受到人们的重视。无网格径向基点插值(RPIM)伽辽金方法也从本质上来讲也是一种无单元伽辽金方法,它与 EFG方法的不同之处在于形函数的构造。因此,RPIM方法中采用径向基函数点插值方法构造形函数,所得到的形函数满足Kroneckerdelta函数性质,但该方法比EFG方法的计算量大,这主要是由于每个计算点所得到的力矩矩阵的维数比MLS近似方法得到的力矩矩阵的维数大得多。目前在RPIM方法中降低计算量方面的研宄很少,本文提出了一种分层插值无网格方法(SI)。这种方法通过把形函数分成多个近似过程,只要最后一步满足插值性,而其他步骤有零阶一致性,那么所得到的形函数就可满足Kronecker delta函数性质。与RPIM方法相比该方法不仅提高了精度,甚至还减少了计算量。几个数值算例验证了该方法的有效性。
  本文还提出了另外一种减少无网格径向基点插值(RPIM)方法时间的方案:重构高斯区域无网格方法。重构高斯区域无网格方法分为两种:重序高斯点无网格方法和重构高斯区域无网格法。重序高斯点无网格方法是找出相同插值节点的高斯点,然后一起生成插值矩阵,这里所有的高斯点都公用一个距离矩阵,因此可以节约时间。然而这就需要搜索程式来找出相同插值节点的高斯点。由于这个程式在大规模问题中的耗时巨大,因此本文就提出了重构高斯区域无网格法。重构高斯区域无网格法强制指定高斯特定区域里高斯点都与某个特定区域里的节点有联系,这样就不需要搜索,而是直接指派这些节点或高斯点。这样可以节省了大量的时间。同时给出了其该方法时间效率的理论比值,并通过数值算例加以验证。
  然而MLS和 RPIM在数值过程中都出现了一系列近似奇异性的问题(最主要集中在力矩矩阵缺秩的情况),迫使本文不得不考虑新的插值方案,进而扩展了一种新的条件正定函数。数值实验证明其方法的可靠性。无网格中主流的形函数构造方式或多或少都存在缺陷,为此不得不寻找一种插值和问题域相兼容的方案。基于Chebyshev点的重心拉格朗日插值给了提示,可以牺牲了节点位置的自由性而得到了插值的稳定性和高精度。实验证明这样的取舍在常见的区域(如:正方形,平行四边形等等)是可行的,这就得到最原始的谱方法。本文用谱配点法来研宄了面内变刚度方薄板,并得到了很好的结果。为了更好的研宄径向变刚度圆薄板,从两个方面来分析:一是通过极坐标理论,形成一个四阶变系数常微分方程。通过正则化条件给出相应的圆心条件;二是使用原有的二维理论。这时提出了分层谱插值方法,用于克服圆薄板应力边界施加奇异的情况。同时本文还用谱-伽辽金方法对层合板进行结构分析。耦合高阶方向剪切变形理论(HOSNDPT)能够很好的表示层合板应力的分布情况。本文还进一步提出了正交高阶方向剪切变形理论(OHOSNDPT)来分析厚度任意变刚度板。数值结果表明不会出现剪切自锁的现象。
[硕士论文] 李莉
一般力学 上海交通大学 2015(学位年度)
摘要:浮动坐标系方法是柔性多体系统动力学最常用的方法,其中柔性体的运动被分成两部分:用浮动坐标系描述的大范围刚体运动和相对于浮动坐标系的小幅弹性变形。有限单元法被广泛的采用来描述复杂柔性体的弹性变形,导致建立的动力学模型的自由度数目庞大,动力学方程求解耗时过长,甚至出现无法求解的现象。如何降低柔性体的自由度,是当前柔性多体系统动力学研究的一个重要命题。因此,为了提高柔性多体动力学仿真的计算效率,便于控制设计和实施,就必须要对柔性多体系统动力学模型降阶进行研究。
  借鉴内平衡理论,提出了一种 Krylov子空间方法的阶数自动控制算法。在阅读大量中英文文献的基础上,对现有的柔性多体动力学模型降阶方法,特别是模态降阶法和Krylov子空间法进行了较为全面的综述。系统地给出了一阶Krylov子空间法和二阶Krylov子空间法的理论推导过程。详细介绍了现有的Krylov子空间自动降阶算法。受内平衡模态降阶方法的启发,本文提出了一种基于Hankel奇异值的Krylov阶数自动控制算法。当前常用临界投影角度法来实现阶数自动控制,然而 Krylov子空间法降阶模型的准确性和阶数对临界角度的取值相当敏感,相对于该算法,本文提出的阶数控制方法比较容易实现阶数的准确控制。
  基于Krylov子空间法及所提阶数控制方法,研究了柔性多体动力学模型降阶问题。通过与当前常用的模态降阶方法,如模态截断方法、模态价值分析方法、内平衡方法比较,研究 Krylov子空间方法及所提阶数控制方法的正确性和高效性。研究结果表明无论是否考虑大范围运动(低速运动)的影响,相对于模态降阶方法,Krylov子空间方法只需要较低的自由度就可以得到和采用有限元方法完全一致的结果。说明该方法能够保持所关注的系统的低频和高频动力学特性,并且具有较高的计算效率。
  结合多变量方法,将 Krylov子空间法成功应用于柔性多体系统接触碰撞问题的模型降阶。柔性多体系统的接触碰撞过程是不连续、高瞬态和高度非线性的,无法直接应用模型降阶。多变量方法将柔性体分为碰撞区和非碰撞区,碰撞区采用有限元描述,非碰撞区采用模态描述,从而使得模型降阶的成为可能。研究结果表明,相对于模态降阶方法,Krylov子空间法可以更大程度地缩减非碰撞区域的自由度数,进而提高动力学全局仿真的效率。
[博士论文] 龚跃政
数学;计算数学 南京师范大学 2015(学位年度)
摘要:许多偏微分方程能被写成一个多辛哈密顿系统,例如:sine-Gordon方程、非线性薛定谔方程、KdV方程、Camassa-Holm方程、麦克斯韦方程、非线性波动方程等。多辛哈密顿系统有三个局部守恒律,即多辛守恒律,局部能量守恒律和局部动量守恒律。如何构造保其中一个或多个守恒律的数值算法是非常有意义的。
  多辛守恒律是多辛哈密顿系统的一个重要的几何性质。在过去的一、二十年里,人们发展了大量的保离散多辛守恒律的数值方法。在本文中,我们进一步研究了Kawahara方程的多辛Fourier拟谱方法,并建立了谱微分矩阵与离散Fourier变换的关系,从而将快速Fourier算法引入到保结构算法的计算中。
  能量守恒是力学系统中的一个关键的性质,它在解的性质的研究中扮演着重要的角色。在一些例子中,能量守恒性质被直接用来证明数值方法的稳定性。能量是很多发展方程的最重要的不变量,因此保能量方法引起了很多科研工作者的兴趣,并得到了快速的发展。在本文中,我们在空间上用小波配置方法离散,在时间上用平均向量场方法离散,从而为一般多辛形式的哈密顿系统构造了一个保全局能量的方法。我们还提出了一个保局部能量的方法。
  除了能量守恒律以外,多辛哈密顿系统还拥有动量守恒律。动量守恒律也是物理中的一个重要的不变量,但是在文献中很少有这方面的研究。在本文中,我们给出了一个保一般多辛形式的哈密顿系统的局部动量的方法。值得注意的是,局部保能量方法和局部保动量方法与边界条件无关,它们能被应用于一大类守恒型的偏微分方程。
  在本文中,我们还特别为耦合薛定谔方程构造了一个守恒的Fourier拟谱算法。我们证明了一个重要的结果,即由Fourier拟谱方法诱导的半范等价于由有限差分方法诱导的半范。由于这个结果以及数值方法保离散的质量和能量守恒的性质,我们证明Fourier拟谱解在最大模意义下是有界的。从而,我们证明这个格式是唯一可解的,并且是无条件稳定的。仅在原方程的解满足一定的正则性的条件下,我们分析了算法在L2模意义下的误差估计,这是保结构拟谱方法的第一个收敛性证明。数值实验印证了理论分析。
[硕士论文] 胡诗绮
机械电子工程 华中科技大学 2015(学位年度)
摘要:结构优化设计的目的是设计出能满足所有边界条件同时某个性能指标达到最优的结构。在多数情况下,结构优化设计可以迅速提供一个经济有效的解决方案。然而,通过结构优化方法设计的结构由于缺少结构冗余,故而对局部破坏非常敏感。为了保证结构能在受到局部破坏后仍能保证工程需求,需要在结构设计初期就将局部破坏加以考虑。本文以二维桁架结构为研究对象,提出了失效-安全拓扑优化算法,并围绕这一点展开了深入研究。
  首先,本文针对二维桁架结构的拓扑优化设计进行了探讨,介绍了工程应用较多的固体各向同性材料惩罚模型(SIMP)。
  第二,本文提出了以结构柔度最小为目标函数,结构体积为约束条件的二维桁架结构拓扑优化问题。本文运用 matlab程序实现了SIMP拓扑优化算法,运用该算法解决了上述拓扑优化问题,并通过了若干算例证明了该算法的可行性和有效性。
  最后,在拓扑优化的基础上,本文提出了二维桁架的失效-安全拓扑优化算法。本文研究了二维桁架的失效-安全优化设计,提出了以最坏破坏情况下结构柔度最小为目标函数,结构体积为约束条件的失效-安全拓扑优化问题。本文通过引入min-max函数来寻找结构最坏破坏情况下结构应变能的最小值,将 min-max不可微优化问题转化为可微优化问题后,运用SIMP拓扑优化算法,编写 matlab程序求解。数值算例证明了所提方法的有效性。
[硕士论文] 张亚婕
理论物理 西北师范大学 2015(学位年度)
摘要:自从1934年Orowan,Polanyi和Taylor三位科学家提出了晶体中位错的概念后,这些年,随着科技的快速发展,人们对晶体的研究逐渐加深。分子动力学模拟技术是以计算机技术和数值算法为基础的一种描述微观现象的有效方法,广泛应用于材料科学和凝聚态物理。本文借助二维Frenkel-Kontorova(FK)模型,以分子动力学为理论依据,对外力(恒力和周期力)作用下螺型位错的产生条件进行研究。现在将论文的具体结构及简要内容介绍如下:
  第一章简单介绍了位错理论的一些相关知识,包括位错的发展历史、位错的基本概念、基本类型及其主要应用。这一章还介绍了FK模型,并简要说明位错与F K模型的联系。
  第二章分别运用简立方体模型和六角对称模型研究外驱动力对产生螺型位错的影响,着重研究周期力对螺型位错的影响。作图分析,得出外加恒力的振幅,周期力的振幅及频率都会影响螺型位错的产生。
  第三章是总结论文主要内容并对将来的工作进行补充说明,突出晶体缺陷对理论物物理领域研究的重要性。
[硕士论文] 张欢
计算数学 湘潭大学 2015(学位年度)
摘要:目前对磁性流体的研究主要以铁磁流体为主,它作为一种创造性的磁性材料,越来越得到相关学者们的广泛关注。铁磁流体是一种由纳米级单畴固体磁性颗粒(3-15nm)、载体溶剂以及表面分散剂(10%-20%)混合制成的一种相对稳定的胶状液体。本文主要从两方面研究铁磁流体的相关性质:一方面分析磁流体运动稳定性方程组的椭圆特性;另一方面搭建了一个利用铁磁流体发电的实验平台,通过实验测量所得数据,分析铁磁流体发电实验中各个相关的量(如内阻、电压等)受到各项因素(如温度、流速、外磁场等)影响的情况,并得出相关结论。其具体内容如下:
  1.给出无量纲的磁流体运动稳定性方程组,通过对磁流体运动稳定性方程组的特征分析,可以得出以下结论:线性的磁流体运动稳定性方程组整体来说呈现出抛物型特征,而非线性的磁流体运动稳定性方程组整体来说为双曲-抛物型的;运用次特征理论对磁流体运动稳定性方程组进行分析表明,对速度U,在亚声速区,线性磁流体运动稳定性方程组显示出椭圆型特征,而在跨声速区呈现出双曲-抛物型特征;对速度U+u,在亚声速区,非线性磁流体运动稳定性方程组显示出椭圆型特性,而在跨声速区呈现出抛物型特征。基于以上分析所得结果,我们进一步探讨了消除上述方程组的椭圆特性的方法。
  2.我们在计算流体实验室搭建了一个磁流体发电实验平台,研究了流体温度和流体速度对铁磁流体发电所产生的电动势和内阻以及电流的影响,实验所测数据结果和理论预测结果基本一致。另外,通过使用不同磁力的外磁场进行实验,将所测量数据进行了比较和分析。实验数据分析表明:通过增大磁流体的流动速度,或者提高外磁场的大小,我们都可以测量到较大的感应电动势的输出,另外提高温度也可以得到较大的感应电动势,但温度对发电效率的影响较小。通过以上实验奠定了进一步对铁磁流体研究的基础。
[硕士论文] 李晓静
计算数学 湘潭大学 2015(学位年度)
摘要:铁磁流体是一种智能型磁性液体,它兼具液体的流动性与磁性固体物质的磁化性能,被广泛应用于航空航天、生物医学、电子信息技术等领域,是流体研究中的热点.磁场作用下铁磁流体管道流的研究对现代高科技技术领域的发展具有重要的意义,由于实验过程中磁场无法达到理想的强度,数值模拟成为此类问题最重要的研究手段之一.本文针对磁场作用下铁磁流体管道流首次进行了数值模拟.论文内容主要包括两部分:
  鉴于物理区域为管道,我们选择在柱坐标系下对其进行数值模拟.文中首先导出柱坐标系下的控制方程,再对其进行无量纲化,将物理模型转化为数学模型.
  为简单计,利用三维管道模型的对称性将计算区域简化为二维矩形区域,分别对不加磁场、磁场强度为定值、磁场强度用Maxwell方程计算三种情况依次进行数值模拟.将不加磁场的数值模拟结果与哈根-泊肃叶流动的精确解进行对比,结果十分吻合,从而验证了模型简化的可行性与程序的正确性.磁场强度为定值的数值结果表明,磁场只影响轴向速度但不存在自旋.磁场强度用Maxwell方程计算的数值结果表明,流场存在自旋效应且自旋速率|υθ|随着磁场强度H的增大而增大,这与已有理论结果一致.此外,本文还探讨了铁磁流体磁颗粒的体积分数φ、雷诺数Re、管道两端的压力差?p、斯托克斯数Stk及磁化率X的大小对自旋速率|υθ|的影响机理.
[硕士论文] 匡梅君
运筹学与控制论 湖南师范大学 2015(学位年度)
摘要:图的Wiener指数是一个众所周知的基于距离的拓扑指数,常被作为有机分子的结构特征.早在1947年H.Wiener用下面式子计算链烷烃的沸点tBtB=aw+bp+c其中a,b,c对于给定同分异构体是常数,w是图G中无序点对之间的距离dG(u,v)之和,p是距离为3的顶点对数.但H.Wiener没有用图论语言来描述这个指数,直到1971年H.Hosoya给出了Wiener指数的定义:用G=(V,E)表示一个简单连通图,dG(u,v)是图G中顶点u,v间的距离,则图G的Wiener指数定义为W(G)=∑{u,v}(∈)VdG(u,v).
  几十年来,对Wiener指数的数学性质和化学的应用已经有了深入研究.如今Wiener指数是用来的描述分子结构特征的最经典的拓扑指数之一.它在物理化学建模、通讯、设施选址、密码学、有机分子的药理和生物性质研究中都有很多应用.
  在这篇文章中,我们先介绍一般的Wiener-型指数.对于任意给定的一个函数f(x),简单连通图G的Wiener-型指数Wf可以表示为Wf=∑{u,v}(∈)Vf(dG(u,v))=1/2n∑i=1n∑j=1f(dG(vi,vj)).
  特别地,当函数f(x)分别为x,1/x,x+x2/2,xλ时,Wf就表示图的Wiener指数、Harary指数、Hyper-Wiener指数、Modified-Wiener指数.
  然后,研究了图的Wiener-型指数与某些结构性质的关系.利用函数f(x)的性质,结合图的结构特征,给出了图具有可遍历性、含有给定长度的圈结构和连通度等结构性质的若干充分条件。
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