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[硕士论文] 赵雅玲
基础数学 扬州大学 2018(学位年度)
摘要:反应扩散系统被广泛地应用于描述生命科学、材料科学、化学以及物理学等领域的各种自然现象.近年来,为了更好的模拟现实生活中种群个体对食物和资源的竞争,人们将非局部作用引入到反应扩散系统中,对具非局部项的反应扩散系统的研究引起了越来越多学者的关注.到目前为止,关于具非局部项反应扩散方程的研究一般是在一维空间上研究相关问题的行波解或在多维固定区域中讨论相关问题解的适定性.事实上,在自然界中,为了得到更好的资源,物种倾向于向边界扩张,即随着时间的变化,种群沿着未知边沿向外扩张,人们将这个未知边沿看作自由边界.该问题的研究难点在于非局部项的影响导致方程缺乏相应的比较原理,许多经典的方法不再适用,这就需要我们改进和寻找新的方法和理论.因此,对这类问题的研究具有重要的理论和实际意义.
  本文研究具非局部项反应扩散系统的自由边界问题,主要目的是讨论非局部项对种群动力学的影响,并对相关动力学行为进行深入系统地讨论.由于非局部项的影响,在扩张情形下,非零稳态解不止一个,系统稳态解的结构非常复杂.本文中我们给出了解收敛到唯一正常值稳态情形的若干充分条件.具体研究内容如下:
  第一章,我们主要介绍研究内容的背景知识及相关工作的进展概况.
  第二章,讨论具非局部项的反应扩散方程的自由边界问题.我们首先证明了自由边界问题入侵物种的扩张与灭绝二择一理论.特别地,当物种扩张成功时,我们给出了充分条件,使得当时间趋于无穷时,物种密度一致收敛到正常值稳态解.其次,讨论物种扩张和灭绝的判据.最后,当扩张情形发生时,估计传播速度的极限.
  第三章,研究具非局部项的两种群反应扩散竞争模型的自由边界问题.在灭绝情形下,我们研究了解的一致估计.同时,在弱竞争条件下,当扩张情形发生时,我们获得了充分条件,使得方程解在唯一的正常值平衡解附近渐近稳定.进一步,给出自由边界传播速度的渐近估计.
  第四章,我们总结本文的主要工作,并提出展望和思考.
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