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[硕士论文] 朱长鹏
数学 扬州大学 2018(学位年度)
摘要:设X,Y为Banach空间,Tn,T∈B(X,Y)且Tn→T.若Tn的逆算子T-1n满足supn∈N‖T-1n‖<+∞,则T存在逆算子T-1,且T-1n→T-1.即在可逆的情形下,‖T-1n‖的一致有界性可以推出T-1n的收敛性.自然地,我们可以讨论广义逆、Moore-Penrose逆和群逆的一致有界性是否可以推出其收敛性?J.Koliha,J.Benitez、D.Cvetkovic-Ilic和X.Liu证明了:Moore-Penrose逆和群逆的一致有界性能推出其收敛性.
  本文首先举例说明在矩阵的情形下,存在{T+n}是一致有界的,但{T+n}不收敛.换言之,即使在Rank Tn=Rank T的条件下,supn∈N‖T+n‖<+∞不能推出T+n→T+.这表明广义逆的情形是完全不同于Moore-Penrose逆和群逆的情形;其次利用广义逆的稳定扰动特征和闭线性子空间的距离证明了广义逆的一致有界性和收敛性的某种等价性;最后将上述结果应用于Moore-Penrose逆和群逆,得到在一致有界的的条件下,Moore-Penrose逆和群逆的收敛与表示定理.本文主要结果不仅推广和改进算子理论和矩阵理论中的一些相关结果,而且给出了扰动算子的Moore-Penrose逆、群逆较简洁的表达式.
  定理设Tn,T∈B(X,Y)存在广义逆,Tn→T.若Tn的广义逆T+n满足supn∈N‖T+n‖<+∞,则对T的任意广义逆T+,存在Tn的广义逆T⊕n,使得T⊕n→T+
  定理设X,Y为Hilbert空间,Tnn,T∈B(X,Y)满足Tn→T.若Tn存在Moore-Penrose逆Tn(+)满足supn∈N‖T(+)n‖<+∞,则T存在Moore-Penrose逆T+,且Tn(+)→T+.此时,对于充分大的n,Tn(+)=[I-BnTn-(BnTn)*]-1Bn[I-TnBn-(TnBn)*]-1,其中Bn=T(+)[I+(Tn-T)T(+)]-1.
  定理设X为Banach空间,Tn,T∈B(X),Tn→T.若Tn存在群逆T#n满足supn∈N‖T#n<+∞,则T存在群逆T#且T#n→T#.对于充分大的n,Tn#=BnWn-1+(I-BnTn)Wn-1BnWn-1,其中Bn=T#[I+(Tn-T)T#]-1=[I+T#(Tn-T)]-1T#,Wn=BnTn+TnBn-I.
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