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[博士论文] 吴赛楠
应用数学 哈尔滨工业大学 2017(学位年度)
摘要:趋化性是物种对环境中的化学信号进行检测以及响应然后作出的化学敏感运动的现象。依据生物对化学信号的靠近还是远离,可将趋化作用分为吸引的或者是排斥的。生物聚集是趋化现象的一个显著特征。在空间捕食的活动中,除了捕食者和食饵的随机运动外,同时还存在着趋化现象,即捕食者种群密度的时空变化也受食饵种群梯度的影响。因此,研究带食饵趋化项的捕食者-食饵模型以及分析细胞中的趋化模型都是很有必要的。
  本文主要研究了几类带趋化项模型的动力学性质,给出了这几类模型解的全局存在性及有界性。同时,还对捕食者-食饵系统做了进一步的研究,得到了系统的全局吸引子和系统的一致持久性。
  主要的工作包括以下几个方面:
  1.研究了光滑有界的区域中在无对流边界条件下带有扩散项和食饵趋化项的一般的捕食者-食饵模型解的全局存在性和有界性。这个结果对任意维空间区域中带有充分小的食饵趋化敏感系数的捕食者-食饵系统都是成立的。此外,给出了全局吸引子的存在性和系统的一致持久性的充分条件。特别地,把这些结果应用到了具体的三个模型中:第一,详细论述了带有扩散项和食惧趋化项的Rosenzweig-MacArthur捕食者-食惧模型并且应用以上结果,能够得到模型解的全局存在性和有界性以及全局吸引子的存在性和系统的一致持久性;第二,讨论了带有扩散项和食饵趋化项的强A lle e效应的捕食者-食饵模型并且应用以上结果,由于(0,0)总是局部渐近稳定的,所以系统不是一致持久的,因此只能得到模型解的全局存在性和有界性以及全局吸引子的存在性;第三,考虑了带有趋化项的种群模型,并且利用以上结果进而推广了已有的一维模型的结果。
  2.研究了在齐次Neumann边界条件下的光滑有界区域上带有非线性趋化敏感函数项和增长项的吸引-排斥模型。利用能量估计的方法,证明了系统存在全局有界解并且给出了关于非线性趋化敏感函数项和增长项的充分条件。这个结果与带有线性项模型已有的结果相一致并且可以应用到更广泛的模型中。
  3.研究了在齐次Neumann边界条件下的光滑有界的凸区域上的吸引-排斥趋化模型。在这个模型中,当放缩比例常数为0且趋化敏感函数是非线性时,通过构造辅助函数的方法,给出了系统有唯一的全局一致有界古典解的充分条件;当放缩比例常数为1且趋化敏感函数χ(υ)=χ0,ξ(ω)=ε0/ω时,其中χ0,ξ0是正常数,通过能量估计的方法,也得到了系统唯一的全局一致有界古典解的充分条件。
[硕士论文] 吴赛楠
计算数学 哈尔滨工业大学 2013(学位年度)
摘要:随机微分方程起源于20世纪。从过去到现在的这100多年里,不仅它的相关理论得到迅猛发展,而且它也被广泛应用于实际生活中。以前,很多学者应用确定性的数学模型研究出现在物理,生物,经济,控制等领域的现象。而随着科学研究的不断推进,他们发现仅仅研究确定性的因素是不能完全反映实际情况的,有很多的外界因素需要考虑到所研究的现象之中去。因此,在研究上述相关数学模型的时候就要把不确定因素考虑进去。随机微分方程由此而得到重视及迅速发展。研究随机微分方程的目的是想得到它的精确解,但是要想得到方程的精确解不是容易的。因此,构造求解随机微分方程的有效地数值方法显得很重要。若要得到有效地数值方法,讨论数值方法的收敛性是有必要的。
  本文考虑的是构造求解随机微分方程分裂步θ数值方法并对此数值方法的均方收敛性及稳定性进行研究,得到此方法是均方收敛的结论,其收敛阶是0.5.此外,我们还构造了分裂步平稳的θ方法,并证明此方法是收敛性及均方稳定性的。然后,我们通过数值算例进行数值模拟试验来验证步长h和参数λ对我们所构造的数值方法稳定性的影响。
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