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[硕士论文] 于均伟
数学 扬州大学 2018(学位年度)
摘要:近年来对几何算子的特征值研究已经成为研究流形上几何和拓扑的一个非常有力的工具。2002年Perelman在Ricci流的研究中开创性的引入了F熵泛函和W熵泛函,它们在庞卡莱猜想的证明中起到关键作用。这两种泛函的下界和几何算子特征值紧密相关,对它们的研究激起了众多研究者们关于几何流下几何算子特征值问题的研究兴趣,特别是沿着Ricci流几何算子的特征值的研究。在本文中,我们主要研究与Perelman型F泛函和W泛函相关的几何算子特征值沿着Ricci流和Ricci-Bour guignon流的单调性问题。
  本文的结构安排如下:
  第一章,给出本文需要用到的一些黎曼几何基本概念和公式,以及Ricci流和Ricci-Bourguignon流的一些基本理论。
  第二章,我们在紧致黎曼流形上考虑Ricci流方程。首先,从Perelman的W泛函定义一个几何算子□,其中□f=-△φf+af ln f+cRf,并得到它沿着Ricci流的发展方程;其次,考虑Ricci流耦合到一个热方程的系统,得到在这个系统下特征值的发展方程,并证明特征值的单调性;最后,研究规范化Ricci流,得到几何算子□的特征值沿着规范化的Ricci流下的发展方程及单调性。
  第三章,我们在紧致黎曼流形上考虑Ricci-Bour guignon流,这是一个结合Ricci流和Yamabe流的方程。我们分别研究了在Ricci-Bourguignon流和规范化Ricci-Bourguignon流下几何算子-△+cR特征值的发展方程和单调性。
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